Analyse 5 – Résumé Complet | Topologie & Calcul Différentiel

Analyse 5 – Résumé Complet

Topologie de ℝⁿ • Continuité • Différentiabilité • Extrema

1. Topologie de ℝⁿ

Norme : \( \|x\| = 0 \iff x = 0 \), homogénéité, inégalité triangulaire.

Normes usuelles

• \( \|x\|_1 = \sum |x_i| \)
• \( \|x\|_2 = \sqrt{\sum x_i^2} \)
• \( \|x\|_\infty = \max |x_i| \)

Heine–Borel : Dans ℝⁿ, un ensemble est compact ⇔ fermé et borné.

2. Fonctions Continues

Hiérarchie :
Lipschitz ⇒ Uniformément continue ⇒ Continue

Caractérisations

• Image réciproque d’un ouvert est ouverte
• Convergence des suites

3. Différentiabilité

\( f(a+h) = f(a) + df(a)(h) + o(\|h\|) \)

Outils

• Dérivées partielles
• Gradient \( \nabla f \)
• Jacobienne \( J_f \)

Chaîne : \( J_{g\circ f}(a) = J_g(f(a)) \cdot J_f(a) \)

4. Extrema et Optimisation

Condition nécessaire : \( \nabla f(a) = 0 \)

Matrice Hessienne

• Positive → minimum
• Négative → maximum
• Indéfinie → point selle

Lagrange : \( \nabla f = \lambda \nabla g \)

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