Analyse 4 – Résumé Complet | Séries & Fonctions

Analyse 4 – Résumé Complet

Séries Numériques • Suites & Séries de Fonctions • Séries Entières

1. Séries Numériques

Définitions :
- Somme partielle : \( S_n = \sum_{k=n_0}^{n} u_k \)
- La série converge si \( (S_n) \) converge
- Condition nécessaire : \( u_n \to 0 \)

Séries de référence

Série	Terme général	Nature
Géométrique	\( ar^n \)	\( |r| < 1 \)
Harmonique	\( \frac{1}{n} \)	Divergente
Riemann	\( \frac{1}{n^\alpha} \)	\( \alpha > 1 \)

Critères :
- d’Alembert : \( \ell = \lim \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| \)
- Cauchy : \( \ell = \lim \sqrt[n]{|u_n|} \)

2. Suites et Séries de Fonctions

Convergences :
- Simple : point par point
- Uniforme : \( \sup |f_n - f| \to 0 \)
- Normale : \( \sum \|f_n\|_\infty \) converge

Théorèmes clés

• Weierstrass → convergence normale
• Dini → uniforme sur segment
• Dérivation terme à terme sous hypothèses

3. Séries Entières

Rayon de convergence :
- Hadamard : \( R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}} \)
- d’Alembert si limite existe

Développements usuels

• \( e^z = \sum \frac{z^n}{n!} \)
• \( \ln(1+z) = \sum (-1)^{n-1} \frac{z^n}{n} \)
• \( \cos z, \sin z \)

4. Méthode de Résolution (Checklist)

1. Le terme général tend vers 0 ?
2. Série positive, alternée ou absolue ?
3. Critère adapté ?
4. Série entière → calculer \( R \)

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