exam1 analyse6

Entraînement : Examen d'Analyse 6

La session du S4 approche, et l'Analyse 6 exige une véritable rigueur technique. Pour vous aider à consolider vos acquis sur les intégrales multiples et les intégrales à paramètres, voici un sujet d'examen complet. Prenez le temps de chercher les solutions avant de consulter la correction détaillée disponible en fin d'article. Bon courage !

I. Sujet de l’examen

Exercice 1 : Intégrales Doubles et Changement de Variable

Soit $D$ le domaine de $\mathbb{R}^2$ défini par :

$$D = \left\{ (x, y) \in ([0, +\infty[)^2 \mid x + y \le 1 \right\}$$

1. Tracer le domaine $D$.
2. Montrer que le changement de variable $\phi : (u, v) \in \Delta \mapsto (x = u, y = (1 - u)v) \in D$, où $\Delta$ est un domaine à déterminer, est un $C^1$-difféomorphisme sur les intérieurs.
3. Calculer l’intégrale double : $$I = \iint_D \frac{xy}{(1 - x)^2} \,dxdy$$

Exercice 2 : Intégrales dépendant d’un paramètre (1)

On considère la fonction $F$ définie par :

$$F(x) = \int_0^{+\infty} \left( \frac{\cos(xt) - 1}{t^2} \right) e^{-t} \,dt$$

1. Donner le domaine de définition $D_F$ de $F$.
2. Montrer que $\frac{1-\cos(x)}{x^2} \le \frac{1}{2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
3. Montrer que $F$ est continue sur $D_F$.
4. Vérifier que $|\sin(x)| \le |x|$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$.
5. Montrer que $F''(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
6. En déduire $F'$ puis $F$.

Exercice 3 : Intégrales dépendant d’un paramètre (2)

Soit la fonction définie par :

$$F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(x/t)}{1 + t^2} \,dt$$

1. Donner le domaine de définition de $F$.
2. Montrer que $F$ est continue sur $\mathbb{R}$.
3. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$.
4. Montrer que $F'(x) = \frac{\ln(|x|)}{x^2 - 1}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1, 1\}$.
5. En déduire la valeur de l'intégrale suivante : $$\int_0^{+\infty} \frac{t}{(1 + t^2)^2} \,dt$$

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Le corrigé complet inclut toutes les étapes de calcul du Jacobien, les théorèmes de convergence dominée appliqués et les primitives détaillées.

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