Exercices Corrigés - Polynomes d'endomorphismes

Exercice 1 : Vrai ou Faux

Soit \( E \) un \( K \)-espace vectoriel de dimension finie, et \( u \in \mathcal{L}(E) \). Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

1. Si \( F \) et \( G \) sont deux sous-espaces supplémentaires de \( E \) stables par \( u \), alors \( u \) est diagonalisable si et seulement si les deux endomorphismes induits \( u_F \) et \( u_G \) sont diagonalisables.

2. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal.

3. Si le polynôme caractéristique d'une matrice est égal à son polynôme minimal, alors la matrice est diagonalisable.

Correction de l'exercice 1

1. Vrai

Dans le sens direct, c'est une conséquence d'un théorème du cours sur les endomorphismes induits (qui nécessite l'utilisation du polynôme minimal). Pour la réciproque, si \( B_F \) est une base de \( F \) de vecteurs propres pour \( u_F \) (donc pour \( u \)) et si \( B_G \) est une base de \( G \) de vecteurs propres pour \( u_G \) (donc pour \( u \)), alors \( B_F \cup B_G \) est une base de \( E \) de vecteurs propres de \( u \).

2. Vrai

C'est vrai : elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

3. Faux

Par exemple, prenons \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Alors \( \chi_A(X) = \pi_A(X) = (X - 1)^2 \), et pourtant \( A \) n'est pas diagonalisable.

Exercice 2

Déterminer toutes les matrices \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) diagonalisables (dans \( \mathbb{R} \)) telles que \( A^3 + 2A = 3I_n \).

Correction de l'exercice 2

Notons \( P(X) = X^3 + 2X - 3 \). Alors \( P \) est un polynôme annulateur pour \( A \).

Les valeurs propres de \( A \) sont donc racines de \( P \).

De plus, \( P \) se factorise en \( P(X) = (X - 1)(X^2 + X + 3) \).

Puisque \( X^2 + X + 3 \) ne s'annule pas sur \( \mathbb{R} \) (son discriminant est négatif), la seule valeur propre possible pour \( A \) est \( 1 \).

Puisque \( A \) est diagonalisable, on doit nécessairement avoir \( A = I_n \). Réciproquement, \( I_n \) vérifie l'équation.

Exercice 3

Soit \( M \) une matrice triangulaire par blocs \( \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \) avec \( A \in M_p(K) \) et \( B \in M_q(K) \).

On suppose que \( P \) est un polynôme annulateur de \( A \) et que \( Q \) est un polynôme annulateur de \( B \).

Déterminer un polynôme annulateur de \( M \).

Correction de l'exercice 3

On commence par remarquer que, pour tout \( n \geq 1 \), \( M^n \) a la forme suivante :

\( M^n = \begin{pmatrix} A^n & * \\ 0 & B^n \end{pmatrix} \)

Donc, pour tout polynôme \( R \), on a

\( R(M) = \begin{pmatrix} R(A) & * \\ 0 & R(B) \end{pmatrix} \)

En particulier, on a

\( P(M) = \begin{pmatrix} 0 & * \\ 0 & * \end{pmatrix} \) et \( Q(M) = \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

On vérifie alors aisément que \( PQ(M) = P(M)Q(M) = 0 \).

Exercice 4

Soit \( f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3) \) tel que \( f^3 + f = 0 \).

1. Démontrer que \( \ker(f) \oplus \mathrm{Im}(f) = \mathbb{R}^3 \).
2. On suppose de plus que \( f \neq 0 \). Démontrer qu'il existe une base \( \mathcal{B} \) de \( \mathbb{R}^3 \) telle que la matrice de \( f \) dans cette base est égale à \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \).

Correction de l'exercice 4

1. Démonstration de \( \ker(f) \oplus \mathrm{Im}(f) = \mathbb{R}^3 \)

On va commencer par démontrer que \( \ker(f) \) et \( \mathrm{Im}(f) \) sont en somme directe.

En effet, si \( y \in \ker(f) \cap \mathrm{Im}(f) \), alors il existe \( x \in \mathbb{R}^3 \) tel que \( y = f(x) \) et de plus \( f(y) = 0 \).

Donc \( f^3(x) = f^2(y) = 0 \), et \( f^3(x) = -f(x) = -y \). Ainsi, \( y = 0 \).

On déduit alors du théorème du rang que \( \ker(f) \oplus \mathrm{Im}(f) = \mathbb{R}^3 \).

2. Détermination de la base

Soit \( P(X) = X^3 + X = X(X^2 + 1) \).

D'après le lemme de décomposition des noyaux,

\( \mathbb{R}^3 = \ker(f) \oplus \ker(f^2 + \mathrm{Id}) \)

On sait aussi que \( \dim(\ker(f^2 + \mathrm{Id})) \geq 1 \) car \( f \neq 0 \).

Mais la dimension de ce sous-espace (stable par \( f \)) ne peut pas être impaire car sinon, la restriction de \( f \) à ce sous-espace admettrait un vecteur propre \( x \neq 0 \) associé à une valeur propre \( \lambda \) et on aurait à la fois

\( f^2(x) = \lambda^2 x \) et \( f^2(x) = -x \)

ce qui est absurde puisqu'on ne peut pas avoir \( \lambda^2 = -1 \).

Ainsi, \( \ker(f) \) est de dimension 1, et \( \dim(\ker(f^2 + \mathrm{Id})) = 2 \).

Soit \( u \) un vecteur non-nul de \( \ker(f) \) et \( w \) un vecteur non nul de \( \ker(f^2 + \mathrm{Id}) \).

Posons \( v = f(w) \). Alors \( (u, v, w) \) est une base de \( \mathbb{R}^3 \) et dans cette base, la matrice de \( f \) a la forme demandée.